MCMF cleaner proof of cost when applying Johnson potentials

content/russian/cs/convex-hulls/_index.md

@@ -16,4 +16,4 @@ weight: 28
 
 Для практических целей выпуклые оболочки полезны тем, что они компактно хранят всю необходимую информацию о множестве точек, что позволяет быстро отвечать на разнообразные запросы на этом множестве.
 
-Выпуклые оболочки можно рассматривать в любом пространстве, но в этой статье мы ограничимся двумерным и научимся их эффективно и строить по какому-то множеству из $n$ точек на плоскости и применять для ответов разнообразные на запросы об этом множестве.
+Выпуклые оболочки можно рассматривать в любом пространстве, но в этой статье мы ограничимся двумерным и научимся их эффективно и строить по какому-то множеству из $n$ точек на плоскости и применять для ответов на разнообразные запросы об этом множестве.

content/russian/cs/flows/mincost-maxflow.md

@@ -52,8 +52,9 @@ $$ w_{uv}' = w_{uv} + d_u - d_v $$
 
 **Доказательство.** Пусть вес какого-то ребра $(u, v)$ отрицателен, то есть $w_{uv}' = w_{uv} + d_u - d_v < 0$. Тогда $d_u + w_{uv} < d_v$, и нарушилось неравенство треугольника: почему мы тогда не использовали ребро $(u, v)$, когда искали кратчайший путь до $v$?
 
-Аналогично можно показать, что рёбра на кратчайших путях из $s$ имеют нулевую стоимость. Заметим, что стоимость *обратных* рёбер на кратчайших путях тоже будет нулевой:
-$$ w_{vu}' = w_{vu} + d_v - d_u = -w_{uv} - d_u + d_v = -(w_{uv}) = 0 $$
+Аналогично можно показать, что рёбра на кратчайших путях из $s$ имеют нулевую стоимость. Заметим, что стоимость *обратных* рёбер на кратчайших путях тоже будет нулевой. Возьмём ребро $(u, v)$, которое лежит на кратчайшем пути из $s$, то есть $d_v = d_u + w_{uv}$. Тогда:
+
+$$w_{vu}' = -w_{uv} + d_v - d_u = -w_{uv} + (d_u + w_{uv}) - d_u = -w_{uv} + w_{uv} = 0$$
 
 **Утверждение 2**. Кратчайшие пути между любыми вершинами остались кратчайшими.