-
Notifications
You must be signed in to change notification settings - Fork 0
Expand file tree
/
Copy path5.html
More file actions
581 lines (581 loc) · 20.4 KB
/
Copy path5.html
File metadata and controls
581 lines (581 loc) · 20.4 KB
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
346
347
348
349
350
351
352
353
354
355
356
357
358
359
360
361
362
363
364
365
366
367
368
369
370
371
372
373
374
375
376
377
378
379
380
381
382
383
384
385
386
387
388
389
390
391
392
393
394
395
396
397
398
399
400
401
402
403
404
405
406
407
408
409
410
411
412
413
414
415
416
417
418
419
420
421
422
423
424
425
426
427
428
429
430
431
432
433
434
435
436
437
438
439
440
441
442
443
444
445
446
447
448
449
450
451
452
453
454
455
456
457
458
459
460
461
462
463
464
465
466
467
468
469
470
471
472
473
474
475
476
477
478
479
480
481
482
483
484
485
486
487
488
489
490
491
492
493
494
495
496
497
498
499
500
501
502
503
504
505
506
507
508
509
510
511
512
513
514
515
516
517
518
519
520
521
522
523
524
525
526
527
528
529
530
531
532
533
534
535
536
537
538
539
540
541
542
543
544
545
546
547
548
549
550
551
552
553
554
555
556
557
558
559
560
561
562
563
564
565
566
567
568
569
570
571
572
573
574
575
576
577
578
579
580
581
<!DOCTYPE html>
<html lang="ru">
<head>
<meta charset="UTF-8"/>
<meta name='viewport' content='width=device-width' />
<link rel="shortcut icon" href="favicon.ico" />
<link rel="apple-touch-icon" sizes="57x57" href="apple-touch-icon-57x57.png">
<link rel="apple-touch-icon" sizes="60x60" href="apple-touch-icon-60x60.png">
<link rel="apple-touch-icon" sizes="72x72" href="apple-touch-icon-72x72.png">
<link rel="apple-touch-icon" sizes="76x76" href="apple-touch-icon-76x76.png">
<link rel="apple-touch-icon" sizes="114x114" href="apple-touch-icon-114x114.png">
<link rel="apple-touch-icon" sizes="120x120" href="apple-touch-icon-120x120.png">
<link rel="apple-touch-icon" sizes="144x144" href="apple-touch-icon-144x144.png">
<link rel="apple-touch-icon" sizes="152x152" href="apple-touch-icon-152x152.png">
<link rel="apple-touch-icon" sizes="180x180" href="apple-touch-icon-180x180.png">
<link rel="icon" type="image/png" href="favicon-32x32.png" sizes="32x32">
<link rel="icon" type="image/png" href="favicon-194x194.png" sizes="194x194">
<link rel="icon" type="image/png" href="favicon-96x96.png" sizes="96x96">
<link rel="icon" type="image/png" href="android-chrome-192x192.png" sizes="192x192">
<link rel="icon" type="image/png" href="favicon-16x16.png" sizes="16x16">
<link rel="manifest" href="/manifest.json">
<link rel="mask-icon" href="safari-pinned-tab.svg"><!--color="#5bbad5"-->
<meta name="apple-mobile-web-app-title" content="SomeBasicMathsNotions">
<meta name="application-name" content="SomeBasicMathsNotions">
<meta name="msapplication-TileColor" content="#da532c">
<meta name="msapplication-TileImage" content="mstile-144x144.png">
<meta name="theme-color" content="#e0cb5c">
<title>Алгебра | свойства квадратного корня и квадратичная функция</title>
<script type="text/x-mathjax-config">
MathJax.Hub.Config({
CommonHTML: { linebreaks: { automatic: true } },
"HTML-CSS": { linebreaks: { automatic: true } },
SVG: { linebreaks: { automatic: true } }
});
</script>
<script type="text/javascript" src="MathJax/MathJax.js?config=MML_HTMLorMML"></script>
<link rel="stylesheet" href="normalize.css">
<link rel="stylesheet" href="main.css">
</head>
<body>
<header>
<h1><span>∑</span>Некоторые алгебраические понятия - определения и работа с ними</h1>
</header>
<main>
<article>
<h1>Квадратный корень из произведения, дроби и степени. Вынесение множителя из-под знака корня, внесение под знак корня. Функция y = √x и её график</h1>
<section>
<h2>Арифметический квадратный корень</h2>
<figure>
<img src="Square_root_function.svg" alt="График функции арифметического квадратного кореня">
<figcaption>График функции арифметического квадратного корня - <var>y</var> = √<var>x</var></figcaption>
</figure>
В ходе этой темы под квадратным корнем будет всегда подразумеваться лишь арифметический, если не указано обратное (<a href="4.html">узнать больше о квадратном корне и тонкостях его точного определения</a>).
</section>
<section>
<h2>Свойства квадратного корня</h2>
<p>При работе с квадратным корнем можно пользоваться его определёнными свойствами, перечисленными ниже.</p>
<section>
<h3>Теорема 1</h3>
<p>
Квадратный корень из произведения неотрицательных множителей равен произведению квадратных корней из этих множителей (множителей может быть любое число).
<math display="inline">
<mrow>
<msqrt>
<mi>a</mi>
<mo>⁢</mo>
<mi>b</mi>
</msqrt>
<mo>=</mo>
<msqrt>
<mi>a</mi>
</msqrt>
<mo>×</mo>
<msqrt>
<mi>b</mi>
</msqrt>
<mspace width="0.5em" />
<mo>∀</mo>
<mi>a</mi>
<mo>≥</mo>
<mn>0</mn>
<mtext>,</mtext>
<mspace width="0.5em" />
<mi>b</mi>
<mo>≥</mo>
<mn>0</mn>
</mrow>
</math>. Из доказательства очевидно, что его можно легко расширить, и свойство является частным случаем свойства арифметического корня n-ой степени - решения уравнения <i>x<sup>n</sup>=a</i> (в целом, тоже верно и для второго и третьего свойства).
</p>
Доказательство (для удобства возьмём два множителя, хотя то же верно для любого количества).<br>
<math display="block">
<mrow>
<mo>◽</mo>
<msup>
<mrow>
<mfenced open="(" close=")" separators=",">
<mrow>
<msqrt>
<mi>a</mi>
</msqrt>
<mo>×</mo>
<msqrt>
<mi>b</mi>
</msqrt>
</mrow>
</mfenced>
</mrow>
<mn>2</mn>
</msup>
<mo>=</mo>
<msup>
<mrow>
<mfenced open="(" close=")" separators=",">
<mrow>
<msqrt>
<mi>a</mi>
</msqrt>
</mrow>
</mfenced>
</mrow>
<mn>2</mn>
</msup>
<mo>×</mo>
<msup>
<mrow>
<mfenced open="(" close=")" separators=",">
<mrow>
<msqrt>
<mi>b</mi>
</msqrt>
</mrow>
</mfenced>
</mrow>
<mn>2</mn>
</msup>
<mo>=</mo>
<mi>a</mi>
<mo>⁢</mo>
<mi>b</mi>
<mo>◽</mo>
</mrow>
</math>
</section>
<section>
<h3>Теорема 2</h3>
<p>
Квадратный корень из дроби с неотрицательным числителем и положительным знаменателем равен частному от деления квадратного корня из числителя на квадратный корень из знаменателя.
<math display="inline">
<mrow>
<msqrt>
<mfrac>
<mrow>
<mi>a</mi>
</mrow>
<mrow>
<mi>b</mi>
</mrow>
</mfrac>
</msqrt>
<mo>=</mo>
<mfrac>
<mrow>
<msqrt>
<mi>a</mi>
</msqrt>
</mrow>
<mrow>
<msqrt>
<mi>b</mi>
</msqrt>
</mrow>
</mfrac>
</mrow>
</math>
(Конечно, подразумевается, что а≥0 и b>0; однако, важно помнить, что b именно строго больше 0, а иначе дробь не будет иметь смысла, т.к. деление на ноль не определено).
</p>
Доказательство (конечно, мы опять берём существующую положительную дробь, чтобы выражение имело смысл).
<math display="block">
<!-- Created with FireMath www.firemath.info -->
<mrow>
<mo>◽</mo>
<msup>
<mrow>
<mfenced open="(" close=")" separators=",">
<mrow>
<msqrt>
<mfrac>
<mrow>
<mi>a</mi>
</mrow>
<mrow>
<mi>b</mi>
</mrow>
</mfrac>
</msqrt>
</mrow>
</mfenced>
</mrow>
<mn>2</mn>
</msup>
<mo>=</mo>
<mfrac>
<mrow>
<mi>a</mi>
</mrow>
<mrow>
<mi>b</mi>
</mrow>
</mfrac>
<mspace width="0.5em" />
<mtext>и</mtext>
<mspace width="0.5em" />
<msup>
<mrow>
<mfenced open="(" close=")" separators=",">
<mrow>
<mfrac>
<mrow>
<msqrt>
<mi>a</mi>
</msqrt>
</mrow>
<mrow>
<msqrt>
<mi>b</mi>
</msqrt>
</mrow>
</mfrac>
</mrow>
</mfenced>
</mrow>
<mn>2</mn>
</msup>
<mo>=</mo>
<mfrac>
<mrow>
<msup>
<mrow>
<mfenced open="(" close=")" separators=",">
<mrow>
<msqrt>
<mi>a</mi>
</msqrt>
</mrow>
</mfenced>
</mrow>
<mn>2</mn>
</msup>
</mrow>
<mrow>
<msup>
<mrow>
<mfenced open="(" close=")" separators=",">
<mrow>
<msqrt>
<mi>b</mi>
</msqrt>
</mrow>
</mfenced>
</mrow>
<mn>2</mn>
</msup>
</mrow>
</mfrac>
<mo>=</mo>
<mfrac>
<mrow>
<mi>a</mi>
</mrow>
<mrow>
<mi>b</mi>
</mrow>
</mfrac>
<mo>⇒</mo>
<msqrt>
<mfrac>
<mrow>
<mi>a</mi>
</mrow>
<mrow>
<mi>b</mi>
</mrow>
</mfrac>
</msqrt>
<mo>=</mo>
<mfrac>
<mrow>
<msqrt>
<mi>a</mi>
</msqrt>
</mrow>
<mrow>
<msqrt>
<mi>b</mi>
</msqrt>
</mrow>
</mfrac>
<mo>◽</mo>
</mrow>
</math>
</section>
<section>
<h3>Теорема 3</h3>
<p>
При любом значении a и натуральном k верно равенство
<math display="inline">
<!-- Created with FireMath www.firemath.info -->
<mrow>
<msqrt>
<msup>
<mi>a</mi>
<mrow>
<mn>2</mn>
<mo>⁢</mo>
<mi>k</mi>
</mrow>
</msup>
</msqrt>
<mo>=</mo>
<mfenced open="|" close="|" separators=",">
<mrow>
<msup>
<mi>a</mi>
<mi>k</mi>
</msup>
</mrow>
</mfenced>
</mrow>
</math>
</p>
Доказательсво. Пусть <var>k</var>=0 для начала, докажем
<math display="inline">
<!-- Created with FireMath www.firemath.info -->
<mrow>
<msqrt>
<msup>
<mi>a</mi>
<mn>2</mn>
</msup>
</msqrt>
<mo>=</mo>
<mfenced open="|" close="|" separators=",">
<mrow>
<mi>a</mi>
</mrow>
</mfenced>
</mrow>
</math>
Это очевидно верно, так как арифметический корень не может быть отрицательным. Применим данное тождество (полезное часто при извлечении корня из выражений с переменными и т.д.) к
<math display="inline">
<mrow>
<msqrt>
<msup>
<mi>a</mi>
<mrow>
<mn>2</mn>
<mo>⁢</mo>
<mi>k</mi>
</mrow>
</msup>
</msqrt>
</mrow>
</math>
, где k ∈ ℕ, получим:
<math display="block">
<!-- Created with FireMath www.firemath.info -->
<mrow>
<mo>◽</mo>
<msqrt>
<msup>
<mi>a</mi>
<mrow>
<mn>2</mn>
<mi>k</mi>
</mrow>
</msup>
</msqrt>
<mo>=</mo>
<msqrt>
<msup>
<mrow>
<mfenced open="(" close=")" separators=",">
<mrow>
<msup>
<mi>a</mi>
<mi>k</mi>
</msup>
</mrow>
</mfenced>
</mrow>
<mn>2</mn>
</msup>
</msqrt>
<mo>=</mo>
<mfenced open="|" close="|" separators=",">
<mrow>
<msup>
<mi>a</mi>
<mi>k</mi>
</msup>
</mrow>
</mfenced>
<mo>◽</mo>
</mrow>
</math>
</section>
Ещё одно свойство или скорее теорема, связанная с неравенствами, рассматривается на <a href="6.html">этой странице</a>.
</section>
<section>
<h3>О некоторых других свойствах арифметических корней</h3>
<p>
Надо отметить, что для арифметических корней n-ой степени будет также верно следующее: <math display="inline">
<!-- Created with FireMath www.firemath.info -->
<mrow>
<mroot>
<mrow>
<mroot>
<mrow>
<mi>x</mi>
</mrow>
<mrow>
<mi>m</mi>
</mrow>
</mroot>
</mrow>
<mrow>
<mi>n</mi>
</mrow>
</mroot>
<mo>=</mo>
<mroot>
<mrow>
<mi>x</mi>
</mrow>
<mrow>
<mi>n</mi>
<mo>⁢</mo>
<mi>m</mi>
</mrow>
</mroot>
</mrow>
</math>, поэтому <math display="inline">
<!-- Created with FireMath www.firemath.info -->
<mrow>
<msqrt>
<msqrt>
<mi>x</mi>
</msqrt>
</msqrt>
<mo>=</mo>
<mroot>
<mrow>
<mi>x</mi>
</mrow>
<mrow>
<mn>4</mn>
</mrow>
</mroot>
</mrow>
</math> (что является достаточно интуитивным). Расширить все выше приведённые доказательства для корней n-ой степени нетрудно, но они для упрощения здесь специально не берутся.
</p>
</section>
<section>
<h2>Вынесение и внесение множителя из-под и под знак корня</h2>
<p>
Кроме перечисленных выше и нескольких очевидных операций из-под знака корня можно выносить числа, переменные и т.д. Это можно делать, используя первую теорему для выделения множителя, который является квадратом. Пример:
<math display="inline">
<!-- Created with FireMath www.firemath.info -->
<mrow>
<msqrt>
<mn>8</mn>
</msqrt>
<mo>=</mo>
<msqrt>
<msup>
<mn>2</mn>
<mn>3</mn>
</msup>
</msqrt>
<mo>=</mo>
<msqrt>
<msup>
<mn>2</mn>
<mn>2</mn>
</msup>
<mo>×</mo>
<mn>2</mn>
</msqrt>
<mo>=</mo>
<msqrt>
<msup>
<mn>2</mn>
<mn>2</mn>
</msup>
</msqrt>
<mo>×</mo>
<msqrt>
<mn>2</mn>
</msqrt>
<mo>=</mo>
<mn>2</mn>
<msqrt>
<mn>2</mn>
</msqrt>
</mrow>
</math>.
</p>
<p>
Как уже было выяснено, можно выносить множители из-под корня, но, конечно, существует и обратное действие - внесение множителей под корень. Пример:
<math display="inline">
<!-- Created with FireMath www.firemath.info -->
<mrow>
<mn>3</mn>
<mo>×</mo>
<msqrt>
<mn>5</mn>
</msqrt>
<mo>=</mo>
<msqrt>
<msup>
<mn>3</mn>
<mn>2</mn>
</msup>
</msqrt>
<mo>×</mo>
<msqrt>
<mn>5</mn>
</msqrt>
<mo>=</mo>
<msqrt>
<mn>9</mn>
<mo>×</mo>
<mn>5</mn>
</msqrt>
<mo>=</mo>
<msqrt>
<mn>4</mn>
<mn>5</mn>
</msqrt>
</mrow>
</math>
</p>
</section>
<section>
<h2>Функция y=√x</h2>
<figure>
<img src="Wikimedia/Square_root_function_with_two_values.svg" alt="Wikipedia square root function graph">
<figcaption>График квадратного корня (не арифметического) или функции квадратного корня f(x) и противоположной ей функции -f(x) из <a href="https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Function_with_two_values_1.svg">Wikimedia Commons</a>, добавленный, чтобы показать всю параболу</figcaption>
</figure>
Функция квадратного корня
<math display="inline">
<mrow>
<mi>f</mi><mo>⁡</mo>
<mfenced open="(" close=")" separators=",">
<mrow>
<mi>x</mi>
</mrow>
</mfenced>
<mo>=</mo>
<msqrt>
<mi>x</mi>
</msqrt>
</mrow>
</math>
есть на графике сверху страницы, является элементарной функцией. Квадратный корень из x имеет смысл при любом неотрицательном значении x ∴ любому неотрицательному числу соответствует единственное значение выражения. Значит, очевидно, y=√x задаёт функцию. Быстро возрастает до 0.5, потом медленнее. По сути, является половиной параболы, повёрнутой на 90° (см. график рядом). Поэтому её график тесно связан с графиком функции y = x², где x≥0. На графике ниже показана функция квадратного корня и связанные с ней.<br>
Область определения: D(x)=[0; +∞) - в русских учебниках область определения записывается D(f).<br>
Область значений: E(f)=[0; +∞).<br>
Функция <i>f(x)</i> является монотонной - строго возрастающей. Точкой абсолютного минимума <i>f(x)</i> является 0. Нужно добавить, что в противовес квадратичной функции <i>y=<var>x</var>²</i>, функция квадратного корня является субаддитивной - значение функции от суммы элементов всегда меньше либо равна сумме значений функции, применённой к каждому элементу по отдельности: <i>√(<var>x</var>+<var>y</var>) ≤ √x + √y</i>.<br>
<figure class="center_pic">
<img src="Square_root_and_square_of_non-negative_num.svg" alt="Функция квадратного корня, квадратная функция">
<figcaption>Функция <var>x</var> = √<var>y</var> и функция <var>y</var> = <var>x</var>²</figcaption>
</figure>
</section>
</article>
</main>
<footer>
fedor1113<br/>
<a href="index.html">К остальным темам</a>
</footer>
</body>
</html>